центральный момент, обычно обозначаемый как а2 или V(X), называется дисперсией величины X:

+оо

V(X) = o2= J (x-fi)2f(x)dx (12.1-6)

—оо

Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины относительно среднего. Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением и обозначается как о*. В табл. 12.1-1 приведены определения среднего и дисперсии для генеральной совокупности, а также для выборки объемом п.

Ковариация двух случайных величин ХиУ определяется как

С{Х1У) = ЕЦХ-»х){у-цу)} (12.1-7) Здесь цх и hy ~ средние значения X и Y. Заметим, что

С(Х, X) = V(X) = Е{(Х- (1Х)2} (12.1-8)

Таким образом, дисперсия — частный случай ковариации. Коэффициент корреляции r(X,Y) определяется как

Он может принимать значения в диапазоне от —1 до +1 и служит мерой степени взаимосвязи величин X и Y.

Некоторые полезные свойства математического ожидания приведены в табл. 12.1-2.

Таблица 12.1-1. Среднее и дисперсия для выборочной и генеральной совокупностей

Таблица 12.1-2. Некоторые свойства математического ожидания (a, b — константы)

Е{а) = а Е(аХ + Ь) = аЕ(Х) + Ь

V(X) = Е{(Х - и)2} V(aX + Ь) = a2V(X)

= Е(Х2) - {Е(Х)}2

Е(Х + Y) = Е(Х) + Е{У)Л С(Х, Y) = E(XY) - ихиу

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2C(X, Y) V(X + Y) = V(X) + V(Y)6

V(X — Y) = V(X) + V{Y) - 2C(X, Y) V{X — Y) = V(X) + V(Y)6

a Если X и Y независимы, E(X, Y) = E(X)E(Y). В этом случае C(X,Y) = 0nr(X,Y) = 0.

6 Справедливо только в случае С(Х, Y) = 0, т. е. если величины X и Y независимы. Эти соотношения можно распространить на случай, когда число случайных величин больше двух.

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию