с

Рис. 12.1-2. Распределение величины X, имеющей среднее значение р. и дисперсию а2 (кривая а) и соответствующие выборочные распределения (кривые Ь, с) для выборок объема п = 9 и 16 соответственно.

Таким образом, математическое ожидание среднего значения X есть генеральное среднее р, исходной величины X. Также можно показать, что

E(s2) = о-2 (12.1-11)

т. е. математическое ожидание выборочной дисперсии есть генеральная дисперсия.

Учитывая, что все величины Xi взаимно независимы, найдем дисперсию среднего X как

УЮ _ у (Щ = Ш-> + П*) + ■ ■ + ПЫ ^ = (12Л.12)

Этот результат означает следующее. Если мы повторим серию из п измерений несколько раз и для каждой серии рассчитаем выборочное среднее, то полученные средние (различные оценки одной и той же величины д.) будут в меньшей степени рассеяны относительно величины р, чем отдельные значения Xj. Стандартное отклонение средних значений равно сг/д/n (рис. 12.1-2, кривые Ь и с), в то время как единичных — сг (рис. 12.1-2, кривая а). Распределение выборочных средних X называется выборочным распределением среднего.

Нормальное (гауссово) распределение

Распределение случайной величины X называется нормальным (гауссовым) со средним значением р и дисперсией сг2, если ее функция плотности вероятности имеет следующий вид (см. также рис. 12.1-3):

f{x) = —5= ехр{-(а:~^2}, -оо < х < +оо (12.1-13)

Или, в краткой записи, X ~ N(p,cr2). Для практических целей удобно свести все возможные нормальные распределения (т. е. с любыми значениями пара-

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию