Рис. 12.1-3. Функция плотности вероятности нормального (гауссова) распределения, имеющего среднее значение /и и дисперсию <т2. Площади под кривой в пределах /и±сг, ц±2а и /и±3сг равны вероятностям нахождения значения величины в пределах соответствующего интервала и равны 68,3, 95,4 и 99,7%.

метров /л и сг2) к так называемому стандартному нормальному распределению путем z-преобразования, т. е. введением новой случайной переменной Z, определяемой как

Z = ^—^ (12.1-14)

сг

Для величины Z функция плотности вероятности имеет вид

f'z) = (2тг)-1/2 ехр . -оо < z < +°° (12.1-15)

а функция распределения —

F'z) = J (27Г)-1/2 ехр dt (12.1-16)

—оо

(рис. 12.1-4). Можно показать, что среднее и дисперсия Z-распределения равны соответственно 0 и 1, поэтому можно записать: Z ~ N(0,1). Функция плотности вероятности для нормального распределения симметрична относительно среднего, ее график имеет колоколообразную форму, а величины f(z) убывают практически до нуля при z ~ ±3. Как и для всякой функции плотности вероятности, площадь под кривой /(z) равна единице:

+оо

j №dz = i

—оо

Для описания распределения экспериментальных данных чаще всего используют именно нормальное распределение. Опыт показывает, что для большинства физико-химических величин оно может служить достаточно хорошим приближением. Из центральной предельной теоремы теории вероятностей следует, что во многих случаях величины, рассчитываемые из большой выборки результатов прямых экспериментальных наблюдений, хорошо подчиняются нормальному закону независимо от характера распределения исходных данных. Чем больше объем выборки, тем ближе распределение производных от нее величин к нормальному. В частности, даже в тех случаях, когда распределение исходных данных отличается от нормального, выборочное распределение среднего из п результатов с ростом п стремится к нормальному, имеющему среднее fi и дисперсию сг2 /п. Распределение суммы S = Х\ + Х2 + ... + Хп большого числа независимых случайных величин, где каждое слагаемое Xj

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию