независимых составляющих, вклад каждой из которых относительно мал. Как следует из сказанного выше, распределение результатов измерения можно при этом считать нормальным.

Достоинством многих статистических методов, основанных на предпосылке о нормальном законе распределения данных, является их устойчивость. Они мало чувствительны к небольшим отклонениям от нормального закона распределения. Однако предположение о нормальном законе распределения данных все же следует делать с осторожностью. Во всех случаях, когда это возможно, необходимо предварительно проверять это предположение с помощью соответствующих статистических тестов, например, х2-теста («хи-квадрат»).

Распределение х2. ^-распределение Стьюдента и F-распределение Фишера

Здесь мы кратко изложим основные свойства этих важных распределений. В следующих разделах на конкретных численных примерах будет рассмотрено практическое использование этих распределений для решения статистических задач химического анализа, таких, как проверка правильности результатов (путем сравнения средних с помощью t-теста), оценка доверительных интервалов, сравнение воспроизводимостей двух методик (F-тест) или проверка согласования теоретической модели с экспериментом (х2-тест).

Распределение х2 {хи-квадрат) с v степенями свободы (обозначается х2,) описывается следующей функцией плотности вероятности:

— — 1 —х/2

1{х) = ¥7ЩЩ' v>0' 0^х^+о° (12.1-17)

Здесь Г — символ гамма-функции. Примеры графиков f(x) для v = 1 и 3 приведены на рис. 12.1-5. Непосредственно формулу (12.1-17) используют редко, поскольку значения х2-распределения табулированы и приведены во многих книгах. Среднее и дисперсия х2-распределения равны Е(Х) = г> и V(X) = 2v. Можно доказать, что если Х\, Х2, ■ • ■ Хп — независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение N(0,1), то величина EiX2 распределена как хп■ Аналогично, если каждая из независимых величин Х\,Х2,... Хп распределена как N(fj,,cr2), то сумма £i(Xj — Х)2/с2 = (n — l)s2/er2 имеет Х2_1-распределение (n — 1 степеней свободы). Отсюда видно, что если Х\ и Х2 независимо распределены как х2! и х22) то их сумма X = Х\+Х2 имеет распределение Xv!+v2 {свойство аддитивности степеней свободы х2-распределения).

Большое практическое значение имеет t-распределение Стьюдента. Оно очень полезно при описании малых (п < 30) выборок. t-Распределение Стьюдента с v степенями свободы характеризуется следующей функцией плотности вероятности:

«*)=М~7ш+1)'2}^Г<^, -<*<+со (12.1-18)

Соответствующие значения также табулированы (см., например, табл. 12.1-3, а также рис. 12.1-6). Распределение Стьюдента симметрично относительно х = 0. Оно имеет дисперсию V(x) — v/(v — 2). При v —> оо распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному N(0,1).

j

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию