□ Строго говоря, вероятность того, что доверительный интервал содержит значение оцениваемого параметра г, может быть равна только 0 или 1, в зависимости от того, содержит ли он значение т в действительности или нет. Поэтому говорить, что данный доверительный интервал t ± к содержит т с вероятностью (1 — а), некорректно. Однако если мы возьмем большое число выборок одинакового объема п и для каждой из них построим свой доверительный интервал, то приблизительно в (1 — q)100% случаев значение т попадет в доверительный интервал (t — k,t + k).

Очень редко анализу подвергают весь исследуемый материал (т. е. «генеральную совокупность»). Предположим, мы хотим определить содержание фосфатов в почве. Для этого, как правило, случайным образом отбирают несколько проб (см. разд. 12.1.3). Иными словами, мы извлекаем из генеральной совокупности некоторую случайную выборку и используем ее для оценки параметров всей генеральной совокупности в целом. При этом предполагается, что выборка представительна, т. е. информация, содержащаяся в ней, отражает информацию о всей генеральной совокупности.

Проанализировав п образцов, мы получим выборку из п независимых случайных величин Xi, Х2,... Хп, характеризующихся некоторой функцией распределения. Из этих данных можно оценить значение некоторого параметра распределения т (например, среднего д. или дисперсии сг2), используя соответствующую функцию Т(Х) от результатов измерений; она называется оценива-тпелем. Величина Т(Х) — также случайная; она имеет свою собственную функцию распределения, среднее и дисперсию. Примером оценивателя может служить выборочное среднее, описанное в разд. 2.4. Разумеется, для каждой конкретной выборки мы получим свое значение (реализацию) величины Т; она называется оценкой. От надежных оценок требуется, чтобы вероятность их близости к истинному значению оцениваемого параметра была высокой. В идеальном случае центром распределения Т должно быть значение т, т. е. Е(Т) — т. Оцениватель, удовлетворяющий этому требованию, называется несмещенным. Как отмечено выше, Е(Х) = р, и E(s2) = сг2, поэтому выборочные среднее и дисперсия — несмещенные оценки соответствующих генеральных параметров.

Степень возможной близости оценки Т к генеральному (неизвестному) параметру т можно выразить количественно, если найти вероятность того, что значение Т лежит в некотором интервале т ± к, где к — некоторая константа. Заметим, что вероятность того, что Т принадлежит интервалу т±/с, такая же, как и вероятность того, что т принадлежит интервалу Т dbk. Интервал Т ±к случайный (поскольку Т — случайная величина). Каждая отдельная реализация этого интервала называется доверительным интервалом, а его граничные значения — доверительными пределами. Вероятность Р = (1 — а) того, что (случайный) доверительный интервал содержит т, называется доверительной вероятностью, а величина а — уровнем значимости. Как правило, а полагают равным 0,05, реже 0,01 и еще реже 0,001. Таким образом, если а = 0,05, это означает, что с вероятностью 95% интервал Т±к содержит значение т. Чем выше доверительная вероятность, тем шире соответствующий ей доверительный интервал. При Р —> 1 доверительный интервал расширяется неограниченно.

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию