□ Доверительные пределы для среднего описывают интервал вокруг выборочного среднего X. С вероятностью (1 — а) 100% этот интервал содержит генеральное среднее р..

□ В наиболее распространенных случаях, когда объем выборки мал, вместо неизвестной генеральной дисперсии <т2 используют выборочную дисперсию s2, а вместо нормального распределения — ^-распределение Стьюдента.

Для примера рассчитаем доверительные интервалы для среднего в «идеальном» случае, когда распределение подчиняется нормальному закону, а его дисперсия известна. Тогда

т2^

где р, при отсутствии систематических погрешностей, равно истинному значению. С помощью преобразования

z=x-p = x-p

ах а/у/п

перейдем от X к новой переменной Z, имеющей стандартное нормальное распределение N(0,1) (см. уравнение 12.1-14). Чтобы рассчитать доверительный интервал для 95% доверительной вероятности, надо найти такое значение z, чтобы площадь под кривой стандартного нормального распределения в пределах от —z до +z составляла 0,95 и соответственно площадь каждого «хвоста» — 0,025 (см. рис. 12.1-7 и табл. 12.1-4). Иными словами, z есть 0,975-квантиль (или 97,5-процентиль) стандартного нормального распределения (см. также рис. 12.1-2), т. е. такая величина z = zo,975i Для которой F(z) = 0,975.

Из таблиц интегральной функции нормального распределения F(z) (см. также табл. 12.1-4) легко найти, что го,975 = 1,96. Таким образом, искомый доверительный интервал для Р = 0,95 можно выразить в виде

1,96о- - 1,96о-

/х--Ч=- <Х^+-!-р- (12.1-21)

у/П у/П

Таблица 12.1-4. Площади одного «хвоста» под кривой стандартного нормального распределения (см. рис. 12.1-7) и соответствующие им процентили Z(i-a/2), используемые для расчетов доверительных интервалов при различных доверительных вероятностях. Как видно из этой таблицы и уравнения (12.1-23), при переходе от доверительной вероятности 90% к 99,9% ширина доверительного интервала приблизительно удваивается.

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию