Дополнение

Вариационные оценки энергий сверху и снизу

А. М. Бродский, В. В. Толмачев

Поскольку уравнение Шрёдингера в большинстве интересующих нас случаев не может быть решено точно, немалое значение приобретают различные приближенные методы его решения, и в частности различные вариационные методы, основывающиеся на имеющихся точных оценках сверху и снизу для точных собственных значений гамильтониана.

Вариационными методами решаются как задачи на расчет собственных энергий и волновых функций низших состояний, прежде всего основного состояния, так и задачи на вычисление фаз рассеяния, вероятностей перехода и т. д.

Вместе с тем, следует признать, что прямые вариационные методы оказались пригодными и полезными только при решении самых простейших квантовомеханических задач, таких, как атом гелия Не, молекула водорода H2, молекулярный ион Щ и т. п.

В настоящем обзоре мы попытались собрать наиболее важные известные до сих пор точные оценки сверху и снизу для собственных энергий, прежде всего для энергии основного состояния, и изложить простые доказательства этих оценок.

В последние годы все большее число исследователей обращается к такого рода оценкам [1, 2].

Вариационный принцип Релея — Ритца [3]

Согласно этому наиболее известному вариационному неравенству, для энергии нижнего основного состояния имеем

E <тши а)

где W- произвольная функция, так называемая пробная функция) она может быть какой угодно. Для энергии первого воз-

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию