Если число главных компонент равно величине, заданной заранее либо найденной с помощью кросс-валидации (см. ниже), или элементы матрицы погрешностей достаточно малы, то следует перейти к шагу 8, в противном случае — к шагу 7.

7. Использовать матрицу Е в качестве новой матрицы X и рассчитать следующую пару векторов t и р*, начиная с шага 1.

8. Представить матрицу X в виде произведения двух матриц согласно модели, заданной уравнением 12.5-4, т. е. в данном случае

Таким образом, исследуемый двумерный массив данных может быть представлен с помощью единственной главной компоненты.

Помимо NIPALS, существуют другие алгоритмы разложения матриц, такие, как сингулярное разложение (SVD) или метод бидиагонализации (дробный или блочный метод наименьших квадратов, PLS).

Сравним алгоритмы NIPALS и SVD. Название «сингулярное разложение» происходит от термина «сингулярное число», представляющее собой корень квадратный из собственного значения симметризованной матрицы. Таким образом, метод SVD — один из вариантов методов анализа собственных значений. При сингулярном разложении исходную матрицу представляют в следующем виде:

X = UWV1 (12.5-5)

Х21

Х\2 Х22

XN1 %N2

Х2К xnk

u21

u12 u22

uni UN2

Vll v\2

V21 V22

UlA

U2A

una, vki

VK2

w\\ 0 О г«22

0

waa

via V2a

vka

□ В SVD-разложении колонки матриц U и V называют левыми и правыми (собственными) векторами. Если матрица X — квадратная (N = К) и симметричная, то U = V. левые и правые векторы совпадают с собственными векторами X, а сингулярные числа — с собственными значениями X.

Векторы-столбцы матрицы U представляют собой векторы-столбцы матрицы Т из уравнения (12.5-4), нормированные к единичной длине. W — диагональная матрица, содержащая сингулярные числа (квадратные корни из собственных значений матрицы ХгХ). В общем случае (если не пренебрегать малыми сингулярными числами) размерность матрицы W (А) равна N. Матрица V1 совпадает с Рг.

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию