3. Определение собственных значений как функций А

На рис. 10 и 11 приведены зависимости собственных значений ктп от Д для различных значений п и т. Можно отметить, что кривые, принадлежащие фиксированному значению п и различным т, объединяются в группу, чего нельзя сказать о функциях с одинаковыми т, но различными п.

Поскольку должна быть заполнена целая область 0<Д<2, то удобной представляется следующая процедура вычислений: находят пары значений (X1, х2), которые удовлетворяют уравнению (11), и затем по каждой такой паре вычисляют к и Д

к = (хх + х2)12, A-I(X2-Xx)I(X1 + X2). (14)

Самую простую пару можно получить, взяв в качестве X1 и х2 корни уравнений Jт (х) = 0 или Y1n (х) = 0. Для данной величины т точки, принадлежащие тому же значению п, находят путем выбора таких корней X1 и х2, которые разделены (п — 1) другими корнями.

Специальное рассмотрение требуется в случае хх = 0. При этом справедливы оба уравнения (9), если т ф0, поскольку иначе получалась бы многозначная волновая функция (из-за угловой зависимости). Однако если т — 0, то первое из граничных условий (9) заменяется более слабым условием, а именно, чтобы Z (0) оставалось конечным. Отсюда следует, что Z (х) — это просто функция Бесселя Jn (х) во всех случаях: Ym (0) = —оо при всех значениях т; /0(0)-1, /,„(O)-O для тфО. Таким образом, в любом случае получаем ктп для Д — 2, выбрав X1 — 0 и х2 равным другому корню уравнения Jn (х) = 0, а затем применив формулы (14).

Следующая точка на кривой с данным ктп получается,.если в качестве X1 взять наименьший корень уравнения Yт (х) — 0. Эта точка лежит, вообще говоря, где-то между Д — 1 и А = 2. Если X1 и X2 возрастают (тип фиксированы), то Д стремится к нулю; это следует из выражения (14), поскольку (X1 — х2) стремится в пределе к конечной величине. Для каждой кривой было получено много дополнительных точек, лежащих между Д — 2 и первой точкой, полученной таким образом. Эти корни уравнения (11) были получены при фиксированном X1, тогда х2 близок к значению х2 для X1 — 0, и оно находится путем подбора и интерполяции, поскольку при этих условиях Yт (х) значительно более чувствительная функция, чем Jm (х).

Некоторые значения соответствующих корней уравнения (11), которые мы не нашли в литературе *, приведены в табл. 20, в которой указаны также отношения BIA.

1 См., например, [6].

Copyright © 2007-2012 Zomber.Ru

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Решить химию